TCVN 4551:2009 Thống kê ứng dụng-Phân tích phương sai

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 4551 : 2009

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Applied statistics - Analysis of variances

Lời nói đầu

TCVN 4551 : 2009 thay thế cho TCVN 4551-1988;

TCVN 4551 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Applied statistics - Analysis of variances

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này quy định các mô hình và phương pháp phân tích phương sai một nhân tố và hai nhân tố, các phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và kết luận thống kê về sự thuần nhất của sản phẩm nhằm phân loại các sản phẩm không thuần nhất.

2. Khái niệm chung

2.1. Phân tích phương sai là một tập hợp các phương pháp thống kê nhằm kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình của một đại lượng nào đó trên cơ sở so sánh các giá trị trung bình của nó trong k mẫu ngẫu nhiên độc lập rút từ k tổng thể.

2.2. Đặc trưng cơ bản của phân tích phương sai là: k tổng thể chịu tác động bởi nhân tố A, ở tổng thể thứ j (j = 1, 2, ... k) A nhận giá trị không đổi A_j.

2.2.1. Giá trị A_j được gọi là mức của nhân tố A và thường là giá trị định tính.

Số mức khác nhau của nhân tố A là hữu hạn.

Hai tổng thể khác nhau ứng với hai mức khác nhau của nhân tố A.

2.2.2. Nhân tố A có thể là đơn (một chiều) hay bội (nhiều chiều) dưới dạng tổ hợp của một số nhân tố đơn, tức là A = B x C x ... x G. Tùy theo số chiều của nhân tố mà ta có phân tích phương sai một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố...

Hai nhân tố A và B là có tương tác (ký hiệu A x B) nếu như trong bố trí thí nghiệm có mọi tổ hợp có thể có của các mức của hai nhân tố.

Tiêu chuẩn này chỉ đề cập đến mô hình phân tích phương sai một nhân tố hay hai nhân tố có tương tác.

2.3. Đại lượng Y đo được trong các mẫu rút từ các tổng thể là biến ngẫu nhiên một chiều, các giá trị quan trắc về đại lượng Y được đo với cùng một độ chính xác.

2.4. Các số liệu để tiến hành phân tích phương sai được biểu diễn dưới dạng Bảng 1.

Bảng 1

trong đó: k là số các tổng thể;

n₁, n₂,... n_k là các cỡ mẫu tương ứng rút từ tổng thể thứ 1, 2,... k,

Y_ij là giá trị đo được thứ j của Y trong mẫu rút từ tổng thể thứ i.

2.5. Các giá trị Y_i1, Y_i2, ...   trong mỗi một cột ứng với một mẫu và là độc lập với nhau (i = 1, 2, …., k).

2.6. Các phương pháp xử lý số liệu trong Bảng 1 phụ thuộc vào phân bố của Y.

2.6.1. Các phương pháp phân tích phương sai tham số (xem Điều 3) đòi hỏi giả thuyết Y có phân bố chuẩn.

2.6.2. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số (xem Điều 4) không đòi hỏi giả thuyết Y_i1, Y_i2, ...  có phân bố chuẩn.

2.7. Giả thuyết “không" H₀ phải kiểm nghiệm trong phân tích phương sai có dạng sau:

H₀ : E(Y₁) = E (Y₂) = … = E (Y_k)                                                          (1)

Giả thuyết này có nghĩa là các mức A_j của nhân tố A không có ảnh hưởng gì đến các giá trị trung bình trong các tổng thể riêng biệt, nói khác đi các giá trị trung bình đó bằng nhau.

H₁ là đối thuyết của H₀ nếu H₁ đúng thì nhân tố A có ảnh hưởng đến Y.

Khi bác bỏ H₀, phải tiến hành thêm phân tích phụ nhằm phát hiện ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y.

2.8. Phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết H₀ còn phụ thuộc vào sự bằng nhau của các phương sai. Trước khi kiểm nghiệm H₀, phải kiểm nghiệm giả thuyết phụ H₀' về sự bằng nhau của phương sai:

H₀': D (Y₁) = D (Y₂) = ... = D (Y_k)                                                          (2)

Đối thuyết:

H₁' : |D(Y_i) - D (Y_j)| > 0

2.9. Sơ đồ chung phân tích phương sai và ví dụ minh họa được cho trong Phụ lục A và Phụ lục B tương ứng.

3. Phương pháp phân tích phương sai tham số

3.1. Phân tích phương sai một nhân tố

3.1.1. Mô hình phân tích phương sai một nhân tố

Nhân tố A có k mức A₁, A₂, … A_k tương ứng với k tổng thể. Mô hình có dạng sau:

Y_ij = m + a_i + e_ij                                                                                                                                                                        (3)

trong đó: m là giá trị trung bình chung của Y;

a_i là hiệu quả của mức A_i đối với Y;

e_ij là sai số ngẫu nhiên ứng với giá trị quan trắc;

Y_ij với i = 1 … k; j = 1…. n_i.

3.1.1.1. Điều kiện áp dụng của mô hình: các e_ij là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình bằng 0.

3.1.1.2. Phát biểu giả thuyết:

Giả thuyết có dạng:

H₀ : a₁ = a₂ = … = a_k = 0                                                                      (4)

tức là các mức của A không có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

Đối thuyết:

H₁: không phải tất cả các a₁, a₂, ..., a_k bằng 0                                       (5)

tức là các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các trung bình của Y.

3.1.2. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai một nhân tố

3.1.2.1. Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

3.1.2.1.1. Dùng quy tắc Bartlett nếu k > 2

1) Tính các giá trị

                                                  (6)

2) Đặt

                                                                                              (7)

3) Tính các giá trị

                                                                          (8)

                                                                          (9)

4) Tính thống kê

                                                                          (10)

trong đó

                                                           (11)

5) Chọn mức ý nghĩa a (thường lấy a = 0,05 hay a = 0,01). Sau đó xác định phân vị  của phân bố c² với k - 1 bậc tự do.

6) So sánh giá trị c² tính được với giá trị tra bảng. Nếu:

 chuyển sang 3.1.2.2.1

 chuyển sang 3.1.2.2.2

3.1.2.1.2. Nếu k = 2, dùng quy tắc Fisher để so sánh hai phương sai. Nếu hai phương sai bằng nhau, có thể dùng quy tắc Student để so sánh hai giá trị trung bình.

3.1.2.2. Kiểm nghiệm các giả thuyết H₀

3.1.2.2.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Sau khi đã khẳng định giả thuyết H₀' về sự bằng nhau của các phương sai, việc kiểm nghiệm giả thuyết H₀ được tiến hành như sau:

1) Tính tổng và trung bình ứng với từng tổng thể:

     với i = 1, 2, …, k

                                           (12)

Sau đó tính tổng chung và trung bình chung:

Y_.. = Y_1.+Y_2.+…+Y_k.                                                                                (13)

2) Tính các tổng bình phương sau:

Tính tổng bình phương giữa các mức:

                                                                             (14)

Tổng bình phương dư (sai số):

SS_dư =                                                                       (15)

Tổng bình phương chung:

                                                                         (16)

Để kiểm tra, có thể dùng hệ thức sau:

SS_dư = SS - SS_A

3) Các kết quả được viết dưới dạng bảng phân tích phương sai sau:

Bảng 2

4) Chọn mức ý nghĩa a và xác định phân vị F_1-a (n₁, n₂) của phân bố F với n₁ và n₂ bậc tự do theo Bảng 5.

5) So sánh giá trị F tính được nhờ Bảng 2 với giá trị tra bảng F_1-a (n₁, n₂).

Nếu F ≤ F_1-a (n₁, n₂) thì chấp nhận H₀.

Nếu F > F_1-a (n₁, n₂) thì bác bỏ H₀. Điều này có nghĩa là nhân tố A thực dư có ảnh hưởng đến Y. Tiếp tục dùng các phương pháp so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những tổng thể thuần nhất.

3.1.2.2.2. Trường hợp các phương sai không bằng nhau:

Phương pháp Welch

Nếu các phương sai không bằng nhau, giả thuyết H₀ được kiểm nghiệm như sau:

1) Tính:

                       với i, j = 1, 2, … k                                      (18)

              với i = 1, 2, … k                                   (19)

và các đại lượng trung gian sau:

                                                                                               (20)

                                                                                            (21)

                                                                                       (22)

2) Tính thống kê Welch:

                                                           (23)

3) Tính biểu thức:

                                                                                (24)

4) Đặt:

F = ,             n₁ = k-1,            n₁ = [¦] - 1                    (25)

trong đó: [¦] là phần nguyên của ¦.

5) Với F, n₁, và n₂ tính được, thực hiện tiếp các bước 4 và 5 của trường hợp các phương sai bằng nhau (3.1.2.2.1).

3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.1. Cách trình bày số liệu

Nhân tố A x B là bội (xem 2.2.2) gồm hai nhân tố đơn A và B.

A có k mức là A₁, A₂,... A_k

B có m mức là B₁, B₂, ... B_m

n giá trị của Y ứng với mức (A_i, B_j) được ký hiệu là Y_ij1,  Y_ij2, .... Y_ijn.

Các giá trị của Y để tiến hành phân tích phương sai được trình bày trong Bảng 3.

Bảng 3

3.2.2. Mọi ô của Bảng 3 được giả thuyết cùng có một số quan trắc đo được với cùng độ chính xác.

3.2.3. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.3.1. Mô hình có dạng sau:

Y_ijℓ = m + a₁ + b_j + (ab)_ij + e_ijℓ                                                                 (26)

với i = 1, 2,... k; j  = 1, 2,... m; ℓ = 1, 2,... n

trong đó:

m - trung bình chung của đại lượng Y

a_i - hiệu quả của mức A_i của nhân tố A đối với các giá trị của Y

b_i - hiệu quả của mức B_j của nhân tố B đối với các giá trị của Y

(ab)_ij - hiệu quả hỗn hợp của mức (A_i, B_j) đối với các giá trị của Y

e_ijℓ - sai số ngẫu nhiên của quan sát Y_ijℓ

3.2.3.2. Các điều kiện áp dụng

1) Các e_ijℓ là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai như nhau.

2) Các nhân tố A và B có thể có hiệu quả âm hoặc dương đối với Y nhưng phải thỏa mãn hệ thức:

                                              =0

 với mọi i

 với mọi j

3.2.3.3. Phát biểu giả thuyết

Các giả thuyết được xem xét theo thứ tự sau:

1) Kiểm nghiệm sự tương tác giữa các nhân tố A và B

H_0,AxB : (ab)_ij = 0 với mọi i = 1, 2,.... k và j = 1, 2 ….., m

H_1,AxB: không phải mọi (ab)_ij = 0

2) Nếu giả thuyết H_0,AxB đúng tức là không có sự tương tác giữa A và B, cần kiểm nghiệm

a) Ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y. Cụ thể:

H_0,A: a₁ = a₂ = ... = a_k = 0

tức là các mức của A không ảnh hưởng đến các giá trị của Y.

H_1,A: không phải tất cả các a₁, a₂, ..., a_k bằng 0

b) Ảnh hưởng của nhân tố B đến các giá trị của Y:

H_0,B: b₁ = b₂ = … = b_m = 0

tức là các mức của B không ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

H_1,B: không phải tất cả các b₁, b₂, ...., b_k đều bằng 0

3.2.4. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.4.1. Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai của Y ứng với mọi tổng thể nhờ quy tắc Bartlett

- Đánh số lại các mẫu trong Bảng 3 bằng chỉ số i = 1, 2,... K = k x m theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống.

- Bên trong từng mẫu, đánh số các quan sát theo hai chỉ số Y_ij, trong đó j = 1, 2,... n.

- Áp dụng quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) cho các mẫu vừa được thành lập, trong đó n_i = n với mọi i = 1, 2, ... K.

- Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai được chấp nhận thì chuyển sang 3.2.4.2.

- Nếu bác bỏ giả thuyết trên thì chuyển sang 3.2.4.3.

3.2.4.2. Kiểm nghiệm điều kiện ứng dụng

1) Tính các tổng:

 với mọi i = 1, 2 …, k; j = 1, 2 …., m                                     (27)

với mọi i = 1, 2 …, k                                                             (28)

với mọi j = 1, 2, …, m                                                          (29)

Tổng chung

                                                        (30)

2) Tính các tổng bình phương:

N = kmn                                                                                                (31)

                                                                    (32)

                                                                     (33)

                          (34)

                                                       (35)

                                                                    (36)

3) Tính các trung bình bình phương

                          (37)

4) Tính các tỷ số F:

                                  (38)

5) Viết các đại lượng vừa tính thành bảng phân tích phương sai hai nhân tố như sau:

Bảng 4

3.2.4.2.1. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,AXB

1) Chọn mức ý nghĩa a. Đặt n₁ = (k - 1)(m - 1), n₂ = N - km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F_1-a(n₁, n₂).

2) So sánh tỷ số F_AXB tính được với giá trị F_1-a(n₁, n₂)

- Nếu F_AxB < F_{1 - a}(n₁, n₂) thì chấp nhận giả thuyết H_0,AxB, sau đó kiểm định giả thuyết H_0,A và H_0,B (xem 3.2.4.2.2 và 3.2.4.2.3).

- Nếu F_AxB > F_{1 - a}(n₁, n₂) thì bác bỏ H_0,AxB và kết luận là các tổ hợp của nhân tố AxB có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

           với i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, m

Tiếp đó chuyển sang so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những nhóm tổng thể thuần nhất.

3.2.4.2.2. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,A

1) Đặt n₁ = k - 1, n₂ = N - km và xác định phân vị F_1-a(n₁, n₂) theo Bảng 5 với mức ý nghĩa a.

2) So sánh trị số F_A tính được với giá trị tra bảng F_1-a(n₁, n₂)

- Nếu F_A ≤ F_1-a(n₁, n₂): chấp nhận giả thuyết H_0,A theo 3.2.3.3.2.

- Nếu F_A > F_1-a(n₁, n₂): bác bỏ H_0,A và suy ra kết luận các mức của nhân tố A là có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

     với i = 1, 2, … k

Để tách các mẫu thuần nhất theo Y, ta phải thực hiện so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.2.3. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,B

1) Đặt n₁ = m - 1, n₂ = N - km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F_1-a(n₁, n₂) ứng với mức ý nghĩa a.

2) So sánh F_B tính được với giá trị tra bảng F_1-a(n₁, n₂)

- Nếu F_B ≤ F_1-a(n₁, n₂) ta chấp nhận H_0,B nhờ 3.2.3.3.3.

- Nếu F_B > F_1-a(n₁, n₂) ta bác bỏ H_0,B và kết luận các mức của nhân tố B có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

     với j = 1, 2, … m

Để phát hiện các mẫu thuần nhất theo Y cần phải thực hiện phép so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.3. Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai bị bác bỏ, phân tích phương sai hai nhân tố được chuyển thành phép phân tích phương sai một nhân tố với các phương sai không bằng nhau (3.1.2.2.2) với số mức K = kmn.

3.3. So sánh đồng thời

3.3.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Phương pháp Student - Newman - Keuls

Cần thực hiện các bước như sau:

1) Sắp xếp các trung bình mẫu , theo thứ tự tăng dần và đánh số lại các tổng thể theo chỉ số của dãy mới thu được:

Ở đây:

 cho trường hợp phân tích một nhân tố (ℓ = 1, 2, …, k);

 cho trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác (ℓ = 1, 2, …, K = k x m);

 cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A (ℓ = 1, 2, …, K = k);

 cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B (ℓ = 1, 2, …., K = m).

2) Tính đại lượng:

                                                                                        (39)

trong đó:

                                                                     (40)

với n_ℓ là số quan sát trong nhóm thứ ℓ

Ở đây:

n_ℓ = n_i trong trường hợp phân tích một nhân tố;

n_ℓ = n trong trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác;

n_ℓ = n x m trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A;

n_ℓ = k x n trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B.

3) Với mức ý nghĩa a (thường a = 0,1; a = 0,05; a = 0,01), tra Bảng 6 để tìm R (a,n₃,n₄) phân vị trên của phân bố của độ rộng đã được Student hóa trong đó n₃ = 2, 3, …, k; n₄ là số bậc tự do của tổng các bình phương dư.

Đặt M = K

4) Tính giá trị của thống kê:

                                                                            (41)

với i = 1, 2, …., M - 1.

5) So sánh giá trị SR(M,i) với giá trị tới hạn R (a, M - i + 1, n₄) với i = 1, 2, …, M - 1.

Giả sử:

I_M = max {i, SR(M,i) ≥ R(a, M - i + 1, n₄)}                                                 (42)

tức I_M là chỉ số i lớn nhất sao cho thống kê SR(M,i) vượt qua phân vị R (a, M - i + 1, n₄).

Các tổng thể còn lại với các chỉ số lớn hơn I_M cho ta:

SR(M,i) < R(a, M - i + 1, n₄)                                                                    (43)

i = I_M + 1, I_M + 2, …, M

Từ đó suy ra trên các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M giá trị trung bình của Y không khác nhau.

6) Sau khi tách các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M thành một nhóm, đặt M = I_M và tiếp tục tìm các nhóm tổng thể thuần nhất bằng cách lặp lại bước 4 và 5 của 3.3.1 cho những tổng thể còn lại 1, 2, ... I_M cho đến khi phát hiện đầy đủ tất cả các nhóm thuần nhất.

CHÚ THÍCH: Quy tắc này được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

3.3.2. Trường hợp phương sai không bằng nhau

Quy tắc Dunnett so sánh  các cặp trung bình có thể có:

1) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,10; a = 0,05 hay a = 0,01). Tra Bảng 6 với i = 1, 2 …, k để tìm phân vị trên R (a, k, n_i - 1).

2) Với mọi cặp i j, tính:

                                      (44)

trong đó , được tính bằng công thức (19).

3) Xác định các giới hạn:

đó là giới hạn tin cậy của hiệu a_i - a_j.

4) Nếu g_ij < 0 và  > 0 thì kết luận nhóm có chỉ số i không khác nhóm có chỉ số j. Xét tiếp cặp chỉ số mới (i, j) và lặp lại mọi thủ tục như đối với cặp (i, j).

CHÚ THÍCH: Quy tắc trên được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số

4.1. Phạm vi ứng dụng

Nếu giả thuyết phân bố chuẩn của Y không được thỏa mãn (xem 2.6) thì phải dùng các phương pháp của mục này. Mô hình được giả thuyết là một nhân tố. Với mô hình nhiều nhân tố cần được đưa về mô hình một nhân tố như đã chỉ ra trong 3.2.2.2. Các số liệu cũng được biểu diễn dưới dạng Bảng 1. Mọi ký hiệu vẫn được giữ nguyên.

4.2. Mô hình một nhân tố

Như trong 3.1.1

4.2.1. Điều kiện áp dụng

Mọi e_ij là độc lập và được lấy ra từ cùng một tổng thể.

4.2.2. Phát biểu giả thuyết

Như trong 3.1.1.2.

4.2.3. Các bước tiến hành

4.2.3.1. Kiểm tra sự bằng nhau giữa các phương sai của đại lượng Y theo mọi mẫu nhờ quy tắc Brown - Forsythe

1) Sắp xếp các quan sát Y_i1, Y_i2, …,  theo thứ tự tăng:

                                                                          (46)

Tính trung vị mẫu:

         nếu n_i chẵn                                            (47a)

                          nếu n_i lẻ                                                (47b)

2) Tính giá trị tuyệt đối của các hiệu số:

        với mọi i = 1, …, k; j = 1, …, n_i                                   (48)

3) Tính các trung bình:

              i = 1, 2, …, k                                                     (49)

                                                                                   (50)

trong đó:

4) Tính giá trị của thống kê Brovvn - Forsythe:

                                                                  (51)

5) Đặt n₁ = k - 1, n₂ = N - k. Với mức ý nghĩa a, tra bảng để tìm điểm phân vị F_1-a (n₁, n₂) của phân bố F.

6) So sánh giá trị W₀ vừa tính với F_1-a (n₁, n₂).

- Nếu W₀ ≤ F_1-a (n₁, n₂) ta chấp nhận giả thuyết về tính thuần nhất của e_ij và chuyển sang 4.2.3.2.

- Nếu W₀ > F_1-a (n₁, n₂) ta kết luận điều kiện áp dụng của 4.2.1 không được thỏa mãn.

4.2.3.2. Quy tắc Kruskal - Wallis để kiểm nghiệm giả thuyết cơ bản

1) Sắp xếp tất cả quan sát (Bảng 1) theo thứ tự tăng dần:

Y₍₁₎ ≤ Y₍₂₎ ≤ … ≤ Y_(N)                                                                               (52)

Nếu có hai (hay nhiều) quan sát có giá trị trùng nhau thì gán cho chúng cùng một hạng bằng tổng các chỉ số đó chia cho các quan sát trùng nhau. Ví dụ nếu Y₍₇₎ = Y₍₈₎ = Y₍₉₎ thì chúng đều được gán hạng

2) Ký hiệu r_ij là hạng của quan sát Y_ij trong cách sắp xếp hạng trên.

3) Với i = 1, 2, …, k, đặt:

;                                     (53)

4) Tính thống kê:

                                                                  (54a)

nếu các quan sát không trùng nhau, hoặc thống kê:

                                                                                  (54b)

nếu có các quan sát trùng nhau.

trong đó: g - số nhóm các quan sát trùng nhau;

t_j - số các hạng giống nhau trong nhóm thứ j.

5) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,1; 0,05 hay 0,01)

- Nếu k = 3 (có 3 tổng thể cần so sánh) và với cỡ mẫu nhỏ (mỗi một trong các số n₁, n₂, n₃ không vượt quá 5). Ta dùng Bảng 7 để xác định phân vị h_a,k (n₁, n₂, n₃).

Đặt h₂ = h_{a, k} (n₁, n₂, n₃) và chuyển sang 6).

CHÚ THÍCH: Bảng 7 cho các giá trị tới hạn h_{a, n} (n₁, n₂, n₃) cho trường hợp n₁ ≤ n₂ ≤ n₃. Nếu thứ tự này không được thực hiện, cần phải đánh số lại các mẫu sao cho n₁ ≤ n₂ ≤ n₃. Việc đánh số lại các mẫu không ảnh hưởng đến h.

- Nếu cỡ mẫu lớn, tra phân vị của phân bố c² với k - 1 bậc tự do. Đặt

6) So sánh giá trị tính được h (hay h') với giá trị tới hạn h_a.

- Nếu h ≤ h_a. chấp nhận giả thuyết H₀ về sự không sai khác giữa các tổng thể.

- Nếu h > h_a: bác bỏ H₀ và suy ra kết luận các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

4.3. So sánh đồng thời

Các bước cụ thể như sau:

- Sắp xếp các giá trị R_i theo thứ tự tăng dần:

R₍₁₎ ≤ R₍₂₎ ≤ … ≤ R_(k)                                                                               (55)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự hạng của chúng.

- Nếu mọi cỡ mẫu bằng nhau, tức là n₁ = n₂ = ... = n_k = n thì chuyển sang 4.3.1. Trường hợp ngược lại chuyển sang 4.3.2.

4.3.1. Trường hợp các cỡ mẫu bằng nhau

4.3.1.1. Quy tắc Kruskal - Wallis (khi cỡ mẫu nhỏ)

1) Chọn mức ý nghĩa a. Với k, n và a, tra Bảng 8 để tìm giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = k.

2) So sánh hiệu số

R_(M) - R_(i) (i = 1, 2, …, M - 1) với giá trị tới hạn y (a, k, n).

Giả sử:

I_M = max {i : R_(M) - R_(i) ≥ y (a, k, n)}                                                          (56)

I_M bằng chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp sau đó thực hiện bất đẳng thức:

     i = 1, 2, …, M - I_M                                                                             (57)

Từ đó suy ra rằng: Các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, ..., M là không khác nhau và các giá trị của các mức của A không có ảnh hưởng gì đến giá trị trung bình của Y.

3) Sau khi tách nhóm các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M, tiếp tục so sánh các hiệu , i = 1, 2, …, I_M - 1 với giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = I_M và chuyển sang thuật toán ở 2) cho đến khi phát hiện đầy đủ mọi nhóm các tổng thể thuần nhất.

4.3.1.2. Quy tắc tiệm cận (trường hợp các mẫu lớn)

Nếu cỡ mẫu vượt ra khỏi giới hạn của Bảng 8 thì phải dùng phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn và với số nhóm k, cần tính q_a (k) nhờ Bảng 9.

2) Xác định giá trị tới hạn:

                                                                   (58)

3) Tiếp tục các bước 2 và 3 giống như trường hợp 4.3.1.1.

4.3.2. Trường hợp cỡ mẫu không bằng nhau

Các bước tiến hành

- Tính hạng trung bình

- Sắp xếp các hạng trung bình R_i. theo thứ tự tăng dần:

R_(1.) ≤ R_(2.) ≤ … ≤ R_(k.)                                                                              (59)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự đã sắp xếp của hạng trung bình.

4.3.2.1. Trường hợp cỡ mẫu nhỏ:

1) Cho trước mức ý nghĩa a, k và các cỡ mẫu (n₁, n₂, n₃) tra Bảng 7 để tìm phân vị h_{a, k} (n₁, n₂, n₃).

2) Chọn M = k và tính giá trị tới hạn

                                                 (60)

với mọi i = 1, 2, …,  M.

3) So sánh hiệu số R_(M.) - R_(i.) với các giá trị tới hạn Y_M,i với mọi i = 1, 2, …, M - 1. Giả sử:

                                                   (61)

I_M là chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp đó bắt đầu thực hiện các bất đẳng thức ngược:

                                (62)

Từ đó suy ra, các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M là không khác nhau theo Y.

4) Sau khi tách nhóm những tổng thể không khác nhau với các chỉ số I_M+1, I_M+2, ..., M, đặt M = l_M rồi tiếp tục các bước 2) và 3) của điều này cho các tổng thể còn lại cho đến khi tách được hoàn toàn các nhóm gồm tổng thể thuần nhất theo Y.

4.3.2.2. Trường hợp các mẫu lớn

Đối với những trường hợp không gặp trong Bảng 7 và các n_i > 5, cần dùng những phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn, tính

Dùng Bảng 10 để tra phân vị U_p của phân bố chuẩn. Đặt M = k.

2) Tính giá trị tới hạn:

                                                                (63)

với mọi i = 1, 2, …, M.

3) Tiếp tục các bước 3 và 4 của trường hợp 4.3.2.1. Sau khi tách các nhóm tổng thể không khác biệt, việc so sánh tiếp theo được đưa vào giá trị tới hạn cho bởi công thức (63) (xem các chú thích trong 3.3.1 và 3.3.2).

Bảng 5 - Phân vị của phân bố F

P {F > F_1-a (n₁, n₂)} = a

1) a = 0,05; 1 - a = 0,95

Bảng 5 (tiếp theo)

1) a = 0,05; 1 - a = 0,95